Twierdzenie Weierstrassa

Okazuje się, że jeśli weźmiemy obraz przez funkcję ciągłą zbioru zwartego, to otrzymamy także zbiór zwarty.

Twierdzenie I

Jeśli jest zbiorem zwartym w oraz jest funkcją ciągłą,to jest zbiorem zwartym w


Dowód

Aby pokazać zwartość zbioru weźmy dowolny ciąg Ponieważ każde jest w obrazie zbioru ,więc dla każdego istnieje takie, że Ponieważ zbiór jest zwarty(z założenia), zatem dla ciągu istnieje podciąg zbieżny w to znaczy

Z ciągłości funkcji wynika, że

zatem pokazaliśmy, że ciąg posiada podciąg zbieżny w co kończy dowód zwartości


Twierdzenie II(Weierstrassa)

Jeśli jest zbiorem zwartym oraz jest funkcją ciągłą, to funkcja osiąga swoje kresy, to znaczy



Dowód

Ponieważ funkcja jest ciągła, a zbiór jest zwarty, więc z twierdzenia I wynika, że zbiór jest zwarty, a zatem także ograniczony, to znaczy

Należy pokazać, że

Pokażemy istnienie o powyższej własności(dowód istnienia jest analogiczny).
Niech oraz dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że nie jest realizowane, to znaczy


Zdefiniujmy nową funkcję w następujący sposób:

Definicja jest poprawna (gdyż mianownik jest niezerowy) oraz funkcja jest ciągła. Korzystając ponownie z twierdzenia I wiemy, że zbiór jest zwarty, a zatem także ograniczony, zatem jego supremum jest skończone, czyli

Oczywiście

Dla dowolnego mamy

w szczególności sprzeczność.
Wykazaliśmy zatem, że funkcja osiąga swój kres dolny, czyli



Uwaga

Założenie zwartości w twierdzeniu Weierstrassa jest niezbędne. Rozważmy funkcję daną wzorem Jest ona ciągła,

ale dla żadnego punktu funkcja nie przyjmuje wartości i

Założenia twierdzenia Weierstrassa nie są tutaj spełnione gdyż zbiór nie jest zwarty.




Twierdzenie Darboux

Wykażemy teraz użyteczny lemat mówiący, że jeśli funkcja ciągła jest dodatnia w pewnym punkcie, to jest także dodatnia w pewnym otoczeniu tego punktu.

Twierdzenie I

Jeśli oraz funkcja jest ciągła w punkcie , to:
(1) jeśli to

(2) jeśli to

Dowód

(1) Załóżmy, że funkcja jest ciągła w punkcie oraz Niech Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie mamy, że

Zatem dla
(2) Dowód jest analogiczny.



Kolejne twierdzenie to tak zwana własność Darboux dla funkcji ciągłych. Mówi ono, że funkcja ciągła na przedziale i taka, że i posiada pierwiastek w przedziale Na tej własności opiera się, stosowana w metodach numerycznych, metoda bisekcji poszukiwania miejsc zerowych funkcji.


Twierdzenie II(Darboux)

Jeśli jest funkcją ciągłą, to




Dowód

Z warunku wynika, że funkcja przyjmuje na końcach wartości różnych znaków, tzn. lub Niech na przykład Niech Zauważmy, że gdyby to istniałoby pewne takie, że dla wszystkich mielibyśmy (co wynika z twierdzenia I). A zatem nie byłoby supremum bo do tego zbioru należałby punkt Analogicznie, gdyby to także dla w pewnym przedziale mielibyśmy a zatem nie byłoby supremum bo na przykład punkt byłby mniejszym od ograniczeniem górnym tego zbioru. A zatem jedyna możliwość to


Wniosek

Jeśli jest funkcją ciągłą, (odpowiednio ),to

odpowiednio


Powyższe wyrażenia nazywamy własnością Darboux funkcji .